theorem claim_342 {α : Type u_1} [Field α] [Fintype α] (β : ℝ) (h : 0 < β) (P : Finset (α × α)) (L : Finset (Line α)) (n : ℕ+) (h₁ : P.card ≤ ↑n) (h₂ : L.card ≤ ↑n) (nh : ↑(Intersections P L).card > ↑ST_C₃ * ↑↑n ^ (3 / 2 - ST_prime_field_eps₂ β)) (hd : ∀ l ∈ P, ↑(IntersectionsL l L).card ≤ 4 * ↑↑n ^ (1 / 2 + 2 * ST_prime_field_eps β)) : ∃ p₁ ∈ P, ∃ p₂ ∈ P, p₁ ≠ p₂ ∧ ↑(Finset.filter (fun (x : α × α) => (∃ l ∈ L, x ∈ l ∧ p₁ ∈ l) ∧ ∃ l ∈ L, x ∈ l ∧ p₂ ∈ l) P).card > ↑ST_C₄ * ↑↑n ^ (1 - ST_prime_field_eps₃ β)